內(nèi)容摘要：利用《墨子》考察先秦的幾何學(xué)知識(shí)不僅對(duì)研究中國(guó)早期數(shù)學(xué)史而且對(duì)了解中國(guó)思想和文化初成期的面貌有著重要的意義。文章首先分析了《墨子》中有關(guān)文獻(xiàn)所蘊(yùn)涵的幾何學(xué)觀念和知識(shí)，指出它們的范圍、性質(zhì)和特點(diǎn)以及在墨家整個(gè)知識(shí)系統(tǒng)中的位置。然后利用這些結(jié)果和有關(guān)名家的文獻(xiàn)及上古時(shí)代的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)等相參照，分析當(dāng)時(shí)存在的幾何學(xué)知識(shí)及其基本性質(zhì)和特征，并說(shuō)明當(dāng)時(shí)發(fā)展出相互關(guān)聯(lián)的兩類幾何知識(shí)——注重實(shí)際應(yīng)用的算法式幾何知識(shí)和注重概念及其關(guān)系的理論性幾何知識(shí)。后一類知識(shí)為認(rèn)識(shí)古人如何從經(jīng)驗(yàn)知識(shí)發(fā)展出抽象化、理論化的幾何學(xué)提供了樣本。先秦?cái)?shù)學(xué)的多元化，與當(dāng)時(shí)社會(huì)的激烈變革、思想解放、百家爭(zhēng)鳴的大環(huán)境密切相關(guān)，是先秦學(xué)術(shù)和思想繁榮的重要組成部分。

　　關(guān)鍵詞：《墨子》；先秦學(xué)術(shù)史；先秦幾何知識(shí)；中國(guó)數(shù)學(xué)史；名家

　　作者簡(jiǎn)介：鄒大海，1965年生，湖南新化人，中國(guó)科學(xué)院自然科學(xué)史研究所研究員，主要從事中國(guó)數(shù)學(xué)史和中國(guó)早期科學(xué)思想史研究。

0? 引言

　　在先秦時(shí)期[1]，世界上多個(gè)地區(qū)文明的發(fā)展都出現(xiàn)了一個(gè)飛躍，中國(guó)在這一時(shí)期也出現(xiàn)了諸子百家，創(chuàng)造了各種新的思想和新的知識(shí)，奠定了中國(guó)思想和文化發(fā)展的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)是人類社會(huì)發(fā)展史中最能體現(xiàn)進(jìn)步和發(fā)展趨勢(shì)的基本知識(shí)門類之一，理解數(shù)學(xué)的發(fā)展對(duì)于理解人類文明的進(jìn)步與思想文化的發(fā)展，具有基本的意義。研究先秦?cái)?shù)學(xué)的發(fā)展，對(duì)于理解思想文化初成時(shí)期的面貌具有重要價(jià)值。但由于有關(guān)先秦?cái)?shù)學(xué)的直接材料流傳至今的很少，學(xué)術(shù)界曾長(zhǎng)期對(duì)先秦?cái)?shù)學(xué)史認(rèn)識(shí)不夠。最近十余年來(lái)，這種情況正在發(fā)生改變，其中利用出土文獻(xiàn)、傳世的非數(shù)學(xué)文獻(xiàn)為《九章算術(shù)》的溯源具有決定性的意義。而在傳世的非數(shù)學(xué)類文獻(xiàn)中，《墨子》（主要是《墨經(jīng)》）中有關(guān)數(shù)學(xué)特別是幾何學(xué)的信息尤其值得關(guān)注。涉及《墨子》中幾何思想的研究文獻(xiàn)頗為浩繁，但大都對(duì)科學(xué)知識(shí)的歷史發(fā)展及其特點(diǎn)缺乏清晰的認(rèn)識(shí)，不僅校釋隨意，而且喜歡附會(huì)近代或西方古代的幾何學(xué)，真正做嚴(yán)密考證和通盤考察的并不多[2]。筆者曾對(duì)相關(guān)文獻(xiàn)的前賢解釋進(jìn)行了分析和取舍，從全局的角度提出自己的看法，并用以證明先秦?cái)?shù)學(xué)存在的理論傾向[5]，但對(duì)這些知識(shí)的性質(zhì)和特征論述得還不夠系統(tǒng)和充分，仍有待深化。本文將在此基礎(chǔ)上，對(duì)《墨子》中的幾何知識(shí)做綜合性的分析，并根據(jù)這些信息討論先秦時(shí)期的幾何學(xué)知識(shí)。

1? 《墨子》中涉及幾何學(xué)的主要文獻(xiàn)簡(jiǎn)釋

　　為便于分析和討論，下面列出《墨子》中涉及幾何學(xué)的主要原始文獻(xiàn)，并做簡(jiǎn)單的解釋。《墨子》“經(jīng)上”、“經(jīng)下”、“經(jīng)說(shuō)上”、“經(jīng)說(shuō)下”統(tǒng)稱《墨經(jīng)》，這部分文獻(xiàn)素稱難解，歧見(jiàn)甚多。筆者曾分析各種歧見(jiàn)的得失，在宏觀上考慮先秦時(shí)期論辯的學(xué)術(shù)背景，在微觀上通過(guò)從古人原有的概念出發(fā)復(fù)原古人的概念之間的聯(lián)系來(lái)理解古人的概念和思想，力圖減少跳躍性思維，避免套用近現(xiàn)代或西方科學(xué)的概念，防止主觀臆斷，在校勘上較為審慎，在解釋上力圖采用最貼近文本的方式。本文所引原文以孫詒讓《墨子間詁》[6]為底本，校釋（原文被刪改的文字外加圓括號(hào)，校正后或增補(bǔ)的文字外加方括號(hào)）則主要基于筆者的考證結(jié)果[5]，但少數(shù)地方仍加改進(jìn)，使解釋進(jìn)一步貼近原文本。《墨經(jīng)》四篇中“經(jīng)”和“經(jīng)說(shuō)”的文字以條目為基本單位有對(duì)應(yīng)關(guān)系，故本文將不同篇中的對(duì)應(yīng)文字以條目為單位置于一處（如“1.1? 空間概念‘宇’”即為第1條，以下類推）。

　　1.1? 空間概念“宇”

　　經(jīng)上：“宇，彌異所也”。? 經(jīng)說(shuō)上：“宇，東西家南北”。（[6]，194、206頁(yè)）

　　經(jīng)文說(shuō)“宇”充滿了各個(gè)不同的處所。經(jīng)說(shuō)講“宇”包括了東西南北各個(gè)方位和說(shuō)話者所在的地方（“家”）。這里用“宇”字總括整個(gè)空間的各個(gè)部分和方向。

　　1.2? 厚的概念

　　經(jīng)上：“厚，有所大也”。?? 經(jīng)說(shuō)上：“厚，惟[無(wú)厚]無(wú)所大。”（[6]，191、207頁(yè)）

經(jīng)說(shuō)中“無(wú)厚”二字系從高亨意見(jiàn)補(bǔ)[7]。經(jīng)文說(shuō)“厚”（有厚）就是有一定的大小。經(jīng)說(shuō)從反面說(shuō)“無(wú)厚”就沒(méi)有一定的大小。這是用“厚”來(lái)表示物體的空間量度。

　　1.3? 端的概念

　　經(jīng)上：“端，體之無(wú)厚而最前者也。”??? 經(jīng)說(shuō)上：“端，是無(wú)同也。”（[6]，191、208頁(yè)）

　　經(jīng)文的意思是：一個(gè)物體含有很多的構(gòu)成部分（體），“端”是其中沒(méi)有量度而處于最邊緣的部分。經(jīng)說(shuō)文字不好解釋。前人有兩種處理：一種是把“同”校改為“間”，一種是在“無(wú)”字前添“不”。按前一種，經(jīng)說(shuō)的意思是“端”是不包含“間”（被夾在中間的空間或物體）的，因而也是最小不能再細(xì)分的東西。按后種處理，經(jīng)說(shuō)的意思是所有的“端”都是一樣的。

　　“端”有物體的頂端和事物的起始之義，墨家思索事物的本原問(wèn)題，選用它作為其世界觀中一個(gè)基本的概念，表示萬(wàn)物的最基本、最細(xì)小的構(gòu)成單元。可見(jiàn)的萬(wàn)物總可以細(xì)分成小的部分，而小東西又可細(xì)分為更小的東西。古人很容易設(shè)想萬(wàn)物的最基本的構(gòu)成單元是最小的，所以墨家在界定“端”時(shí)，著重描述其幾何性質(zhì)：從幾何量度來(lái)說(shuō)“端”沒(méi)有大小（“無(wú)厚”），從空間位置來(lái)說(shuō)“端”處于一個(gè)物體的起始處或最頂端、最外緣。從人的感知來(lái)說(shuō)，物體的起始端和邊緣比較容易顯示這種微細(xì)的單元，所以在界定“端”時(shí)，從“最前者”入手。在描述概念的界定時(shí)，《墨經(jīng)》還沒(méi)有發(fā)展到從外延和內(nèi)涵兩方面都做到恰如其份的程度，在“非半弗著斤則不動(dòng)”一條中，《墨經(jīng)》認(rèn)為一半一半地砍一個(gè)長(zhǎng)條形物，最后會(huì)得到一個(gè)“端”，并且隨著砍截方式的不同，得到的“端”的位置也不同，不僅可以在原物的兩頭，也可以在中間（[5]，307-315頁(yè)）。“端”還被作為光線的投射點(diǎn)（光線既是物質(zhì)的，也具有幾何性質(zhì)），這與其幾何涵義仍存在一致性。

　　1.4? 直的概念

　　經(jīng)上：“直，參也”。（[6]，191頁(yè)）

　　這一條說(shuō)明一個(gè)東西是否直的，要在它上面任取三個(gè)對(duì)應(yīng)位置的點(diǎn)，看它們是否在一條視線上。這是基于視線這種經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)建立起來(lái)的一種理性提升。這里經(jīng)過(guò)了一定的幾何抽象，并具有一定的默認(rèn)前提：如一個(gè)長(zhǎng)方形的物體，取三點(diǎn)時(shí)不能把最后的點(diǎn)取在左邊、中間的點(diǎn)取在右邊、最前的點(diǎn)取在中間，只能是都取左邊或都取右邊或都取中間。也有可能經(jīng)文本來(lái)就是針對(duì)一條線說(shuō)的。

　　1.5? 平的概念

　　經(jīng)上：“平，同高也。”（[6]，190頁(yè)）

　　這一條講：一個(gè)東西是平的，它的各處都有相同的高度。這經(jīng)過(guò)一定的幾何抽象，不考慮該對(duì)象的厚薄，并假設(shè)有一個(gè)平的東西（可能是地平面）作為它的參照。

　　1.6? 同長(zhǎng)的概念

　　經(jīng)上：“同長(zhǎng)，以缶相盡也。”? 經(jīng)說(shuō)上：“同，捷與狂之同長(zhǎng)也。”（[6]，190、207頁(yè)）

　　經(jīng)文說(shuō)明：說(shuō)兩個(gè)東西同長(zhǎng)，是當(dāng)把它們疊合在一起時(shí)，它們正好（“缶”，即“正”）相盡，即兩頭都不長(zhǎng)不短，正好重疊。經(jīng)說(shuō)進(jìn)一步舉例說(shuō)明：門框（“狂”，通“框”）和門內(nèi)的閂（“捷”）正好有相同的長(zhǎng)度。

　　1.7? 中的概念

　　經(jīng)上：“中，同長(zhǎng)也。”?? 經(jīng)說(shuō)上：“心中，自是往相若也。”（[6]，190、207頁(yè)）

經(jīng)說(shuō)的“心”字可能是衍文。經(jīng)文的意思是，處于一個(gè)形體的中央的中與其（某些）邊界點(diǎn)的各連線長(zhǎng)度相同。經(jīng)說(shuō)是說(shuō)：從中到邊界點(diǎn)的連線相等。經(jīng)說(shuō)和經(jīng)的基本意思一樣，但更體現(xiàn)操作性。

　　1.8? 圓的概念

　　經(jīng)上：“圜，一中同長(zhǎng)也。”? 經(jīng)說(shuō)上：“圜，規(guī)寫（攴）[交]也。”（[6]，191、208頁(yè)）

　　經(jīng)文定義圓：有一個(gè)中心，它到圓的邊緣每一處都具有相同的長(zhǎng)度。經(jīng)說(shuō)進(jìn)一步從操作上說(shuō)明，用規(guī)畫圓時(shí)要畫一個(gè)整圈，最后要和開始處相交。本條給了圓一個(gè)完整的定義，除文字有簡(jiǎn)縮外，與今天的幾何學(xué)并無(wú)二致。

　　1.9? 方的概念

　　經(jīng)上：“方，柱隅四讙也。”?? 經(jīng)說(shuō)上：“方，矩見(jiàn)（攴）[交]也。”（[6]，191、208頁(yè)）

　　“讙”可能是“權(quán)”（權(quán)）之誤，訓(xùn)為等或正。據(jù)此，經(jīng)文的意思是：方，猶如一個(gè)方形的柱子的形狀，它的四個(gè)角都相等，或四個(gè)角都是直角。另外一種解釋是“讙”訓(xùn)為“合”，經(jīng)文的意思是，方猶如方形柱子形狀，它的四個(gè)角都能重疊。經(jīng)說(shuō)的意思是：用矩圍成方形時(shí)，矩的相應(yīng)邊要相交。

　　圓和方是兩種典型的基本形狀，規(guī)矩是兩種基本的作圖工具，先秦時(shí)期人們對(duì)此非常熟悉，戰(zhàn)國(guó)諸子常借用它們來(lái)論述各種觀點(diǎn)。《墨子》中“法儀”、“天志上”、“天志中”和“天志下”等篇都有提及。如《天志中》：“是故子墨子之有天之，辟（人）[之]無(wú)以異乎輪人之有規(guī)，匠人之有矩也。今夫輪人操其規(guī)，將以量度天下之圜與不圜也。曰：中吾規(guī)者謂之圜，不中吾規(guī)者謂之不圜。是故圜與不圜，皆可得而知也。此其故何？則圜法明也。匠人亦操其矩，將以量度天下之方與不方也。曰：中吾矩者謂之方，不中吾矩者謂之不方。是以方與不方，皆可得而知之。此其故何？則方法明也”（[6]，128—129頁(yè)）。這里提到用規(guī)、矩來(lái)分別判定圓與不圓、方與不方。而之所以能夠做這樣的判定，則是由于圓的標(biāo)準(zhǔn)和本質(zhì)（“圜法”）、方的標(biāo)準(zhǔn)和本質(zhì)（“方法”）弄清楚了。第8和第9條正是墨家對(duì)圓和方的標(biāo)準(zhǔn)的本質(zhì)揭示。下面這一條，則是用方及其本質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)為例來(lái)說(shuō)明同類事物的共同本質(zhì)（“法”）。

　　1.10? 方形物的共性

　　經(jīng)下：“一法者之相與也盡[類]，若方之相（合）[以]也，說(shuō)在方。”? 經(jīng)說(shuō)下：“一，方盡類，俱有法而異，或木或石，不害其方之相（合）[以]也。盡類猶方也，物俱然。”（[6]，200、230頁(yè)）

　　經(jīng)文中“盡”字后從孫補(bǔ)“類”字。經(jīng)文和經(jīng)說(shuō)中“合”字系孫校，原文分別作“召”、“臺(tái)”，當(dāng)校正為“以”，讀為“似”[3]。經(jīng)文的意思是：合乎同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)（“法”）的事物彼此有相互關(guān)系，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)為這類中的所有事物所遵循，有如各種方形都相似，因?yàn)樗鼈兙哂蟹降男再|(zhì)。經(jīng)說(shuō)的意思是：方的性質(zhì)為整個(gè)方類中的各個(gè)方形所擁有，它們都符合方的標(biāo)準(zhǔn)而各個(gè)方形又有所不同，例如有的為木頭之方，有的為石頭之方，但這不影響這些方的相似性。一個(gè)類的標(biāo)準(zhǔn)能為該類中所有事物所遵循，如同方的標(biāo)準(zhǔn)能為方類中的所有事物所遵循一樣，同類中的所有事物都具有其共同屬性。

　　1.11? 曲直的轉(zhuǎn)化

　　經(jīng)上：“儇，秪”。（[6]，194頁(yè)）

　　這一條意義難以弄清。“儇”、“”、“秪”可能分別通“環(huán)”（環(huán)）、“俱”、“抵”。經(jīng)文意思可能是：環(huán)在地上滾動(dòng)的時(shí)候，環(huán)上每一點(diǎn)在靠近地面的位置時(shí)都是和地面相抵壓、相接觸的。抽象地看，就是圓在直線上滾動(dòng)時(shí)，圓上的每一點(diǎn)都與直線上的某一點(diǎn)相重合，這樣，當(dāng)圓滾動(dòng)一周時(shí)，圓和一段直線上的點(diǎn)就建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。因此，圓和直線就可以在一定意義上互相轉(zhuǎn)化。

　　1.12? 有間的概念

　　經(jīng)上：“有間，中也。”??? 經(jīng)說(shuō)上：“有間，謂夾之者也”。（[6]，192、208頁(yè)）

　　經(jīng)文的意思是：說(shuō)一個(gè)東西有間，是指它的中間位置而言。經(jīng)說(shuō)說(shuō)明“有間”的主體：有間是指夾著一個(gè)“間”的東西有間。

　　1.13? 間的概念

　　經(jīng)上：“間，不及旁也。”??? 經(jīng)說(shuō)上：“間，謂夾者也。尺前于區(qū)穴而后于端，不夾于端與區(qū)內(nèi)。及，及非齊之及也。”（[6]，192、208頁(yè)）

　　經(jīng)文是說(shuō)：間，是不和夾著它的東西的邊緣相接觸的。經(jīng)說(shuō)的意思是：間是被夾在中間的事物。線（“尺”）在空間形式中的地位是在面（“區(qū)”或“區(qū)穴”）之前而在點(diǎn)（“端”）之后（因?yàn)橛牲c(diǎn)構(gòu)成線，由線構(gòu)成面），但（由于這不是從空間位置上講的，所以）線并不一定夾在點(diǎn)和面之間。“及，及非齊及之及也”是解釋經(jīng)文的“及”不是并排相及的及的意思。這句話可能是后世的注釋文字，后來(lái)闌入了正文。

　　1.14? 纑的概念

　　經(jīng)上：“纑，間虛也。”??? 經(jīng)說(shuō)上：“纑，虛也者，兩木之間謂其無(wú)木者也。（[6]，192、208頁(yè)）

　　“纑”字本是麻縷，這里用來(lái)表示空虛的地方。經(jīng)文的意思是：纑是中間的空虛之處（或空虛的“間”）。經(jīng)說(shuō)解釋經(jīng)文中的“虛”：猶兩棵樹之間沒(méi)有樹木的地方。

　　周圍（或兩邊）夾著中間（“間”），這中間可以是一個(gè)具體的事物，也可以是什么都沒(méi)有的虛空區(qū)域（“虛”）。“纑”就是屬于后面這種情況。

　　1.15? 攖的概念

　　經(jīng)上：“攖，相得也。”??? 經(jīng)說(shuō)上：“攖，攖，尺與尺俱，不盡。端與端，俱盡。尺與端，或盡或不盡。堅(jiān)白之?dāng)t相盡。體攖不相盡。”（[6]，192、209頁(yè)）

　　經(jīng)文說(shuō)明：攖是一種讓兩個(gè)東西（當(dāng)然包括幾何形體）相合的操作。經(jīng)說(shuō)舉例解釋：兩條不同長(zhǎng)度的線（“尺”）放一起相攖時(shí)，不能正好互相包涵；兩個(gè)點(diǎn)（“端”）放一起相攖時(shí)，每一點(diǎn)都能被對(duì)方涵盡。一條線（“尺”）和一個(gè)點(diǎn)相攖時(shí)，點(diǎn)被線涵盡而線不被點(diǎn)涵盡。一塊既堅(jiān)又白的石頭內(nèi)的堅(jiān)、白相攖時(shí)，堅(jiān)和白相互被涵盡。兩個(gè)事物只有部分重合（“體攖”）則一個(gè)不涵盡另一個(gè)。由本條及上面第13條的經(jīng)說(shuō)，可以推測(cè)《墨經(jīng)》中作為線的尺是沒(méi)有寬度的。

　　1.16? 仳的概念

　　經(jīng)上：“（似）[仳]，有以相攖，有不相攖也。”?? 經(jīng)說(shuō)上：“仳，兩有端而后可。” （[6]，192、209頁(yè)）

　　經(jīng)文的意思是：仳（比）的時(shí)候要讓兩條線盡量重合，以比較其大小、長(zhǎng)短，這時(shí)它們可能有相重合的地方，也有不相重合的地方。經(jīng)說(shuō)則說(shuō)明，仳的對(duì)象線必須是有端點(diǎn)的。這種通過(guò)疊置來(lái)比較兩個(gè)形體的方法，對(duì)于線以外的其他圖形也是有用的。

　　1.17? 次的概念

　　經(jīng)上：“次，無(wú)間而不相攖也。”??? 經(jīng)說(shuō)上：“次，無(wú)厚而后可。”（[6]，192、209頁(yè)）

　　經(jīng)文提出一個(gè)特殊的排列方式“次”：相鄰兩個(gè)被排列的對(duì)象之間沒(méi)有間隙而又沒(méi)有相重合的部分。《道藏》本中“后”作“厚”，楊俊光認(rèn)為經(jīng)說(shuō)說(shuō)明“無(wú)厚”（圖形）和“有厚”（物體）皆可以是“無(wú)間而不相攖”之依次排列的對(duì)象[9]。他把“無(wú)厚”、“有厚”分別理解為圖形和物體是不對(duì)的，因圖形也可以是有厚的（線有長(zhǎng)度，面有面積，立體有體積）。如果按《道藏》本，經(jīng)說(shuō)的意思是：不論是無(wú)厚還是有厚的東西，它們都可以沒(méi)有間隙而又不相重合地進(jìn)行排列。畢沅本作“後”。按這種文字，則經(jīng)說(shuō)的意思是：次的對(duì)象只能是沒(méi)有大小的東西，如點(diǎn)（“端”）或沒(méi)有寬度的線或沒(méi)有厚度的面。兩種可能性都是存在的。但本條精妙處在于它提出了一種觀念：可以把“無(wú)厚”的東西進(jìn)行這種既無(wú)間隙又不互相重疊的排列。這種思想與西方數(shù)學(xué)中的不可分量可積思想是一致的[10]。

　　1.18? 有限與無(wú)限

　　經(jīng)：“窮，或有前不容尺也。”??? 經(jīng)說(shuō)：“窮，或不容尺，有窮；莫不容尺，無(wú)窮也。”（[6]，194、206頁(yè)）

　　本條以錢寶琮先生的解釋（[2]，19頁(yè)）最為近真。它是講一維上的有限與無(wú)限。經(jīng)文的意思是：用尺來(lái)度量從一點(diǎn)向某個(gè)方向延伸的直的線（實(shí)際是射線或線段），如果量到某個(gè)地方，前面不能容下一尺，那么它是有窮的。經(jīng)說(shuō)的意思是：只要向前量到某個(gè)地方時(shí)前面不能容下一尺，則它是有窮的；如果繼續(xù)不斷地量過(guò)去，前面總是能容下一尺，那末，它便是無(wú)窮的。有了這個(gè)針對(duì)一維上的有限和無(wú)限的命題，就可以判斷二維和三維上的有限與無(wú)限。

　　1.19? 廣脩相盈的思想

　　經(jīng)下：“不可偏去而二，說(shuō)在見(jiàn)與[不見(jiàn)]俱、一與二、廣與脩。”??? 經(jīng)說(shuō)下：“[不]，見(jiàn)不見(jiàn)[不]離，一二（不）相盈，廣脩、堅(jiān)白”。（[6]，196、216頁(yè)）

　　本條主要按照高亨的校勘意見(jiàn)（[7]，114頁(yè)）。經(jīng)文的意思是：（對(duì)于那個(gè)同時(shí)含有兩種表象或事物的東西）不能從它里面去掉兩種表象（或事物）中的任何一個(gè)，這個(gè)說(shuō)法基于這樣一些情況：看得到的和看不到的都滲透在一起，一（物）中含有兩種表象（或事物），一塊面積含有廣和脩（互相垂直的兩組線段）兩種互相滲透的單元。經(jīng)說(shuō)的意思是，看得到的和看不到的分不開，一物體和它的兩種表象（或單元）互相充滿，一塊面積的廣和脩、一塊（堅(jiān)硬的白色石頭）的堅(jiān)和白兩種要素都相互包含。

　　1.20? 太陽(yáng)方位

　　經(jīng)上：“日中，南也。”（[6]，191頁(yè)）

　　“”同“正”。這條說(shuō)：太陽(yáng)在天空軌跡的正中央的時(shí)候，它就處在正南方。這條反映方位在幾何學(xué)上的體現(xiàn)。

　　1.21? 球的性質(zhì)

　　經(jīng)下：“而不可擔(dān)，說(shuō)在摶。”? 經(jīng)說(shuō)下：“正，丸無(wú)所處而不中縣，摶也。”（[6]，199、229頁(yè)）

　　“擔(dān)”通“憺”，安定、穩(wěn)定之義。“摶”是圓形之義。“丸”即球。“縣”是工匠用來(lái)確定豎直方位的帶繩懸錘。本條講球的性質(zhì)，經(jīng)文是說(shuō)球總是正的，但不安穩(wěn)，因?yàn)樗菆A的。經(jīng)說(shuō)是說(shuō)：球沒(méi)有哪一處不符合懸錘（線），因?yàn)樗菆A的[4]。

　　《墨經(jīng)》所說(shuō)球的正，當(dāng)然是相對(duì)于偏而言，這是從幾何意義上講的，但具體如何來(lái)衡量怎樣為正、怎樣為偏，經(jīng)文沒(méi)有直接說(shuō)，而只是用它的形狀是圓的來(lái)解釋為什么它雖然是正的，但不穩(wěn)定。經(jīng)說(shuō)講球（從各個(gè)角度看都）是圓的，因而它全部所處都是符合懸錘（線）的，這可以說(shuō)是解釋了球的正是什么意思。參照前面對(duì)圓的界定，可以推測(cè)，全部所處都符合懸錘線的意思可能是說(shuō)無(wú)論把球怎樣放在平面上，用球的哪一處作支撐點(diǎn)，它的中心和支撐點(diǎn)都在一條鉛垂線上。這里墨家考慮球的力學(xué)性質(zhì)，而這又是通過(guò)考慮球所具有的前面已經(jīng)闡釋了的圓之本質(zhì)來(lái)認(rèn)定的，但墨家并沒(méi)有明確地表達(dá)出來(lái)。葛瑞漢推測(cè)說(shuō)盡管作者有幾何論證的思想，但大概還沒(méi)有發(fā)展出歐幾里得式的真正的證明（[4]，435頁(yè)）。這是沒(méi)有問(wèn)題的，因?yàn)槟也还庠谶@里沒(méi)有把兩處知識(shí)的邏輯關(guān)系展現(xiàn)出來(lái)，整個(gè)《墨子》也很少用按部就班、非常清晰的邏輯關(guān)系來(lái)證明命題。

　　1.22? 出入相補(bǔ)的思想

　　一個(gè)由多個(gè)較小的塊組成的圖形，如果其中的若干塊移動(dòng)到另外的位置再組合成新的圖形（“出入相補(bǔ)”），那么移動(dòng)前后圖形的面積或體積保持不變。這是古人經(jīng)常用于解決幾何問(wèn)題的簡(jiǎn)單原理，數(shù)學(xué)史界稱為出入相補(bǔ)原理。墨子已對(duì)此有較深的理解。

　　《墨子·非命上》：“子墨子曰：‘古者湯封于亳，絕長(zhǎng)繼短，方地百里，與其百姓兼相愛(ài)，交相利，移則分，……昔者文王封于歧周，絕長(zhǎng)繼短，方地百里，與其百姓兼相愛(ài)，交相利，[移]則[分]，是以近者安其政，遠(yuǎn)者歸其德。”（[6]，165—166頁(yè)）

　　這段文字的意思是：墨子說(shuō)：古時(shí)候商湯受封于亳這個(gè)地方，如果把這塊土地截去長(zhǎng)的地方補(bǔ)到短的地方，得到邊長(zhǎng)一百里的正方形。商湯在這塊只有百里見(jiàn)方大小的土地上與他的百姓互相敬愛(ài)，互利互惠，有多余的東西就分給大家（“移”讀為“侈”，過(guò)多。）……。從前文王受封于歧周，如果把這塊地截去長(zhǎng)的地方補(bǔ)到短的地方，得到一個(gè)邊長(zhǎng)一百里的正方形。文王就在這塊只有百里見(jiàn)方大小的土地上與他的百姓互相敬愛(ài)，互利互惠，有多余的東西就分給大家，所以近處的人順從他的施政，而遠(yuǎn)處的人則歸順?biāo)牡滦小?/p>

　　墨子考慮商湯的封地亳和文王的封地歧周時(shí)，把形狀不規(guī)整的國(guó)土通過(guò)“絕長(zhǎng)繼短”，化為正方形，然后看正方形的邊長(zhǎng)是多少，來(lái)考量它們的大小。這里的前提是“絕長(zhǎng)繼短”的前后保持面積相同。這就是后來(lái)劉徽在注《九章》時(shí)大量用到的出入相補(bǔ)。

2? 《墨子》中幾何知識(shí)的內(nèi)容、思想和特點(diǎn)

　　在中國(guó)古代有關(guān)科學(xué)的文獻(xiàn)中，注重對(duì)概念進(jìn)行界定和對(duì)所考察的對(duì)象之間的邏輯聯(lián)系進(jìn)行闡釋的不多。《墨子》（主要是《墨經(jīng)》）算是少有的若干例外之一。不過(guò)，上述所舉反映幾何知識(shí)和思想的文獻(xiàn)，在《墨子》的相關(guān)篇章中的編排，雖然有部分是連在一起的，但總的說(shuō)來(lái)并沒(méi)有專門放在一起討論，而是分布在不同的地方，這些幾何知識(shí)和思想不管是從文獻(xiàn)的組織還是從思想的關(guān)聯(lián)上看，都不是獨(dú)立和專門的幾何知識(shí)。 盡管這些幾何知識(shí)和思想是墨家在一個(gè)更大的知識(shí)系統(tǒng)中展開討論時(shí)表現(xiàn)出來(lái)的，但從中可以看出墨家注意描述幾何對(duì)象的本質(zhì)屬性和邏輯關(guān)聯(lián)，反映了先秦時(shí)期幾何知識(shí)的理論傾向。下面我們以上述對(duì)原始材料的解釋為基礎(chǔ)，對(duì)幾個(gè)主要問(wèn)題做一較為系統(tǒng)的分析。

　　2.1 《墨子》中幾何知識(shí)的范圍

　　上面所列，說(shuō)明《墨子》中含有豐富的幾何知識(shí)和思想。首先它界定或說(shuō)明了“宇”（空間）、“厚”（空間上的量度，大小）、“端”（點(diǎn)）、“直”、“平”、“同長(zhǎng)”、“中”（形象中心）、“圓”、“方”、“間”（被夾在中間的空處或東西）、“有間”（夾有“間”這種情況，或必要時(shí)可以名詞化，表示夾有“間”的東西）、“纑”（被夾住的空處）、“攖”（重合）、“仳”（兩個(gè)形體通過(guò)疊合進(jìn)行比較）、“次”（相鄰對(duì)象既不接觸又無(wú)間隙的排列）、“窮”等概念。還有一些用到而未專門說(shuō)明的概念和工具，如“尺”[5]、“無(wú)厚”、“無(wú)間”、規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等，還有一些命題，如有窮、無(wú)窮的判定，日中與方位的關(guān)系。這里涉及幾何知識(shí)的范圍比較寬泛，包括以下一些方面：（1）整個(gè)空間（宇）；（2）幾何性質(zhì)（直、平、同長(zhǎng)、正、摶、中縣）；（3）幾何量度（厚、無(wú)厚、長(zhǎng)度單位尺、窮或有窮、無(wú)窮）；（4）幾何構(gòu)件（端、尺、廣、脩、區(qū)或區(qū)穴）；（5）幾何圖形（圓、方、丸，其他如《墨子》城守各篇中還有一些幾何形體）；（6）幾何位置關(guān)系（表示中間位置的中、間、有間、纑、次、日中、正南）；（7）幾何操作（攖、仳、秪、絕長(zhǎng)繼短）；（8）幾何工具（規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩、縣、表示度量工具的尺）等等。此外還表現(xiàn)了一些看法，如一塊面積可以看作由一系列平行的廣組成，也可以看作由一系列平行的脩構(gòu)成。

　　上述分類不是絕對(duì)的，例如“次”、“窮”條也可以列入幾何操作，“無(wú)厚”、“有窮”、“無(wú)窮”可以單列一類——無(wú)限，等等。

　　這些幾何知識(shí)雖然涉及了較寬泛的范圍，但遠(yuǎn)未完整。事實(shí)上，在反映上古時(shí)代數(shù)學(xué)的《九章算術(shù)》、《周髀算經(jīng)》、湖北江陵張家山西漢初年墓中出土的《算數(shù)書》和湖南大學(xué)岳麓書院近年收購(gòu)的秦簡(jiǎn)《數(shù)》書中的絕大部分幾何概念和計(jì)算方法都沒(méi)有出現(xiàn)在《墨子》中。例如《九章算術(shù)》、《算數(shù)書》、《數(shù)》中涉及了圭田（三角形）、方田（長(zhǎng)方形）、箕田（等腰梯形）、邪田（直角梯形）、圓田或周田（圓形）、弧田（弓形）、環(huán)田（圓環(huán)或兩半徑所夾圓環(huán)之一部分）、宛田（中間隆起的曲面，有人認(rèn)為是球冠形）等平面圖形及其面積計(jì)算方法，方堢壔（以正方形為底的四棱柱）、塹堵（底為直角三角形的三棱柱）、陽(yáng)馬（分解塹堵得到的一棱垂直于正方形底的四棱錐）、鱉臑（分解塹堵得到的每一面都是直角三角形的四面體）、方錐（正四棱錐）、圓堢壔（圓柱）、圓亭（圓臺(tái)）、芻童（一種棱臺(tái)）、芻甍（一種楔形體）、羨除（一種楔形體）、圓錐等立體圖形及其體積計(jì)算方法，都未出現(xiàn)在《墨子》中；算書中立圓（球體）在《墨經(jīng)》中作丸（與公元3世紀(jì)劉徽《九章算術(shù)注》的說(shuō)法相同），但《墨子》沒(méi)有計(jì)算其面積體積的方法，城（或垣、溝、塹、渠，都是底為梯形的棱柱）、方亭（正四棱臺(tái)）在《墨子》中雖然提到實(shí)物，但不是從幾何形狀上說(shuō)的，沒(méi)有具體的文字明確涉及其幾何指標(biāo)，更無(wú)計(jì)算其體積的方法。從社會(huì)需要來(lái)說(shuō)，這些形體的面積和體積的計(jì)算方法，以及《九章算術(shù)》和《周髀算經(jīng)》中一部分測(cè)算事物遠(yuǎn)近和大小的計(jì)算方法大都出現(xiàn)于先秦時(shí)期（[5]，132—161頁(yè)；[12]；[13]），這些方法和相應(yīng)的幾何概念大多屬于當(dāng)時(shí)較基本的幾何知識(shí)，可它們?cè)凇赌印分絮r有涉及。當(dāng)然，這并不意味著墨家沒(méi)有相關(guān)的知識(shí)，他們?cè)谄渌麍?chǎng)合還是有可能會(huì)用到這些知識(shí)的一部分的。又如點(diǎn)、線、面是最基本的幾何概念，《墨子》只專門對(duì)“端”（點(diǎn)）做了界定，雖有與線、面分別對(duì)應(yīng)的“尺”、“區(qū)（穴）”，但不僅對(duì)它們沒(méi)有專門界定，其涵義或性質(zhì)也難以根據(jù)其在文本中的使用情況得到較為明確的了解，這是很不利于認(rèn)清幾何圖形的性質(zhì)的。《墨子》的撰寫是為墨家宣傳其在政治、倫理、軍事、經(jīng)濟(jì)和社會(huì)生產(chǎn)、生活等方面的主張服務(wù)的，即使其中涉及邏輯和抽象概念較多的《墨經(jīng)》，包含了較多墨家關(guān)于世界萬(wàn)物的基本認(rèn)識(shí)，其中有些本身與這些主張并無(wú)明顯的直接關(guān)系，但作為培養(yǎng)徒屬的基礎(chǔ)材料，仍從屬于這一目標(biāo)。因此書中雖有各種各樣的知識(shí)，并有把相近的知識(shí)放在一起的意圖，但編作者對(duì)“相近的知識(shí)”的劃分并不以后世觀念為依據(jù)，甚至當(dāng)時(shí)還沒(méi)有意識(shí)到刻意分科組織為成套基本知識(shí)的必要性。所以，《墨子》還沒(méi)有達(dá)到讓哪個(gè)方面的專門知識(shí)形成一個(gè)有機(jī)系統(tǒng)的程度，也沒(méi)有形成成套的幾何概念和完整的幾何知識(shí)，是不足為怪的。

　　2.2 《墨子》的幾何知識(shí)是其整個(gè)知識(shí)系統(tǒng)中并非獨(dú)立的一部分

　　在戰(zhàn)國(guó)時(shí)代百家爭(zhēng)鳴與思想解放的大背景下，墨家在社會(huì)共有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上通過(guò)思辨努力理解世界萬(wàn)物，建立其對(duì)世界的基本認(rèn)識(shí)。為此，他們需要利用一些基本的概念和思想，并深入地找出其本質(zhì)特征和基本聯(lián)系。由于空間形式（萬(wàn)物的形狀、在空間上的聯(lián)系和性質(zhì)等）是任何人感知世界的基礎(chǔ)和認(rèn)識(shí)萬(wàn)物性質(zhì)的基本方面，墨家就不可避免地要深入思考空間形式方面的問(wèn)題，在當(dāng)時(shí)共有幾何知識(shí)和觀念的基礎(chǔ)上，參考當(dāng)時(shí)各界人士特別是其他諸子和數(shù)學(xué)家一些對(duì)事物幾何屬性的刻畫，形成一些幾何學(xué)方面的認(rèn)識(shí)，用以建立其世界觀。因此，上節(jié)所舉材料雖然具有幾何方面的涵義，但很多并不限于幾何涵義，而是其整個(gè)世界觀中的一部分。如宇作為現(xiàn)實(shí)的整個(gè)空間，抽象的幾何形體和現(xiàn)實(shí)的物體都可以置于其中；端除幾何學(xué)上的涵義外，也是墨家世界觀中構(gòu)成物質(zhì)的基本元素；平很可能是以地平面為參照；攖、次和仳的對(duì)象也都可以是實(shí)體的；規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩、縣、尺本身就是實(shí)物，中、間（被夾在中間的東西）、有間、纑（間之虛者，即被夾著的虛空）等雖然是針對(duì)幾何位置關(guān)系，但仍與現(xiàn)實(shí)事物聯(lián)系緊密，也可以指實(shí)體的對(duì)象之間的位置關(guān)系；方用方柱的四個(gè)角來(lái)界定，方和圓都分別用相應(yīng)的工具矩和規(guī)來(lái)說(shuō)明，都與現(xiàn)實(shí)物體直接關(guān)聯(lián)；用“容尺”、“不容尺”這樣的操作語(yǔ)言來(lái)界定有窮和無(wú)窮，都以現(xiàn)實(shí)事物為基礎(chǔ)；說(shuō)到丸（球）（因?yàn)槭菆A的，所以）無(wú)論怎樣放都符合懸錘線時(shí)，是從實(shí)物操作的視角涉及的，等等。以上這些雖可以從幾何觀念上面來(lái)理解，但古人并沒(méi)有刻意地把幾何意義從這些問(wèn)題的現(xiàn)實(shí)的、具體的涵義或更籠統(tǒng)的哲學(xué)涵義中分離出來(lái)進(jìn)行討論。因此，這些幾何知識(shí)的應(yīng)用是在一個(gè)范圍更大的知識(shí)系統(tǒng)中進(jìn)行的，它們還與現(xiàn)實(shí)的事物或籠統(tǒng)的哲學(xué)涵義有相當(dāng)緊密的聯(lián)系。可見(jiàn)，墨家的這些幾何知識(shí)和觀念雖具有抽象的幾何內(nèi)涵，但并沒(méi)有作為一種獨(dú)立的專門知識(shí)來(lái)看待。當(dāng)然，這并不意味著這些幾何知識(shí)不具有一定的內(nèi)在聯(lián)系（詳下）。

　　2.3 《墨子》中的幾何知識(shí)是當(dāng)時(shí)墨家的基礎(chǔ)知識(shí)

　　《墨子》中幾何知識(shí)涉及了幾何方面一些比較基本的內(nèi)容和涵義：（一）這些內(nèi)容只是基礎(chǔ)知識(shí)，大都并非高級(jí)或復(fù)雜的內(nèi)容。如規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩、尺是當(dāng)時(shí)大家都熟習(xí)的工具，圓、方、平、直、同長(zhǎng)、丸是大家常用且有明確理解的概念，宇、厚、無(wú)厚、廣、脩、（表示中間位置的）中、有間、間、有窮、無(wú)窮等也是當(dāng)時(shí)人們常用的概念。其他如端、（表示線的）尺、區(qū)（或區(qū)穴）、攖、仳等概念，雖然在其他文獻(xiàn)中出現(xiàn)得不多，但也是當(dāng)時(shí)人們觀念中已具備的想法（也許還叫別的名稱或沒(méi)有專稱）。這些內(nèi)容算不上復(fù)雜，在當(dāng)時(shí)的知識(shí)共同體中大都有所涉及。雖然也有些知識(shí)可能為墨家所獨(dú)有或只局限于范圍較小的學(xué)術(shù)圈，如次、有窮和無(wú)窮的界定等確是比較高級(jí)和深刻的，但這些內(nèi)容仍以當(dāng)時(shí)大家熟知的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為直接的背景。由于當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)中用于定量計(jì)算的幾何概念特別是計(jì)算方法在《墨子》中難得一見(jiàn)，而《墨子》對(duì)書中已有幾何知識(shí)的概念闡釋得不全面，也較少清晰地構(gòu)建它們之間明確的、特別是復(fù)雜的邏輯聯(lián)系，更沒(méi)有有意識(shí)地用來(lái)系統(tǒng)地解釋很多的事物之理，如果再考慮到墨家注重實(shí)踐和辯論，《墨經(jīng)》只是訓(xùn)練墨徒的基本材料，墨家弟子在接受教育后有一部分會(huì)有所精進(jìn)，那么從泛泛的理解來(lái)說(shuō)，說(shuō)這些知識(shí)是當(dāng)時(shí)墨家的基礎(chǔ)知識(shí)是可以的。（二）墨家使用的這些概念和思想主要是一些相對(duì)于一般知識(shí)而言很基本很本質(zhì)的東西。這些知識(shí)大多是人們?cè)诳紤]幾何問(wèn)題時(shí)經(jīng)常要涉及的，但理解得不一定深，想得不一定清楚，或未能較多地從具體事物中抽象出具有普通意義的屬性來(lái)。墨家則不僅繼承和深化了已有的對(duì)事物幾何屬性的本質(zhì)描述，而且對(duì)一些只停留在經(jīng)驗(yàn)層面的幾何知識(shí)進(jìn)行了理性提升。他們用較明確的語(yǔ)言描述具體事物的一些較為抽象的本質(zhì)屬性，并部分地顯示了較為抽象的概念之間的聯(lián)系，在理論抽象方面超越了當(dāng)時(shí)一般士人的理解，這有利于理論化的思考（參考下文）。

　　2.4 《墨子》中幾何知識(shí)中的理論性

　　上面說(shuō)到戰(zhàn)國(guó)時(shí)代百家爭(zhēng)鳴的學(xué)術(shù)背景，促進(jìn)了墨家對(duì)世界萬(wàn)物基本問(wèn)題的思考。由于空間形式是萬(wàn)物存在和運(yùn)動(dòng)的基本形式，人們要深入地了解萬(wàn)物的本質(zhì)，就必須努力了解萬(wàn)物在空間形式上的共性和特征，因此，墨家對(duì)世界萬(wàn)物的思考必然會(huì)促使他們?cè)诳坍嬘嘘P(guān)幾何概念的本質(zhì)屬性和幾何對(duì)象的本質(zhì)聯(lián)系方面下一些功夫。所以在墨家的整個(gè)知識(shí)系統(tǒng)中，其幾何知識(shí)含有抽象化和理想化的成份[6]，具有一定的深度和較高的理論水平。

　　（一）墨家注重形式化的表述方式。《墨經(jīng)》的“經(jīng)上”篇和對(duì)應(yīng)的“經(jīng)說(shuō)上”篇，以一系列概念為關(guān)鍵詞分條目展開討論。“經(jīng)上”把需要說(shuō)明的概念置于句首，大都采用“X，Y也”的格式進(jìn)行（只有很少的幾條無(wú)“也”字），有的是對(duì)概念的界定或說(shuō)明，有的形成了一個(gè)判斷和命題（也對(duì)概念做了說(shuō)明）[7]。“經(jīng)下”篇和對(duì)應(yīng)的“經(jīng)說(shuō)下”篇提出了一系列的看法和命題，對(duì)一些命題大都采用先提出判斷、再給出條件（個(gè)別先給出要討論的對(duì)象，再與后面的文字連成一個(gè)整體作為一個(gè)認(rèn)識(shí)）的 “X，Y，說(shuō)在Z”的格式（只有很少條目例外，但也可能是傳抄錯(cuò)誤造成的）。這種形式化的表達(dá)方式有助于更明確、更規(guī)范地表達(dá)知識(shí)，建立抽象概念之間的聯(lián)系。當(dāng)然，明確的理論知識(shí)的形成還受對(duì)所考察對(duì)象的認(rèn)識(shí)水平、形成知識(shí)的具體作法等的影響，而且在對(duì)不同方面的內(nèi)容形成理論知識(shí)時(shí)，其工作難度、形成的知識(shí)的形態(tài)和所達(dá)到的水平也會(huì)由于具體情形的不同而存在差異。但形式化和規(guī)范化的表達(dá)方式，無(wú)疑有助于使知識(shí)更明確，更具一般性。

　　（二）墨家對(duì)幾何涵義的刻畫注重從抽象性和一般性方面揭示其本質(zhì)。如對(duì)宇的界定很具有一般性，“端”作為墨家世界觀中的萬(wàn)物的基本構(gòu)成元素，墨家著重從度量和位置上對(duì)它進(jìn)行界定；攖、次、仳這些操作也主要從抽象幾何形式而不是實(shí)物的角度來(lái)考慮，中、有間、間、纑雖可以指具體的物體的位置關(guān)系，但這種位置關(guān)系則完全是從幾何學(xué)的位置關(guān)系上講的；有窮和無(wú)窮雖以具體操作的方法來(lái)界定，但這種操作顯然不限于現(xiàn)實(shí)的情況，而帶有理想的、形式化的性質(zhì)。方雖用方柱來(lái)說(shuō)明，但落腳點(diǎn)顯然不在方柱而在于四個(gè)角重合（或相等），具有抽象的性質(zhì)；秪（環(huán)和地面相接觸）也是從抽象的理想角度來(lái)說(shuō)的，幾何形式的涵義很濃厚；“日中，正南也”中日的大小已被忽視，而只考慮位置和方向；第21條利用丸的幾何性質(zhì)來(lái)解釋其力學(xué)上的不穩(wěn)定性。至于第22條通過(guò)“絕長(zhǎng)繼短”把國(guó)土化為方形，雖不具備形式化的特征，但這在現(xiàn)實(shí)中完全不可能，只能是理想化的抽象的幾何操作。墨家對(duì)同長(zhǎng)、中、方、圓、直、平、有窮、無(wú)窮等的描述，雖有現(xiàn)實(shí)的背景（特別是前5個(gè)更是如此），但相當(dāng)好地刻畫了其抽象化的本質(zhì)屬性，具有普遍的意義，除對(duì)平的界定外，在今天看來(lái)仍不失為嚴(yán)謹(jǐn)。墨家懂得出入相補(bǔ)原理。攖、仳是要通過(guò)疊合圖形對(duì)它們進(jìn)行比較，為出入相補(bǔ)原理提供了基本的操作方式，第22條中墨子把不規(guī)則的國(guó)土通過(guò)分劃后重新組合成方形，體現(xiàn)了出入相補(bǔ)原理的應(yīng)用。由于對(duì)國(guó)土不可能真正地進(jìn)行分割再移補(bǔ)，所以這種出入相補(bǔ)是假想或在圖上進(jìn)行的[14]，反映了墨家的抽象思想。第18條中墨家建立了一個(gè)有限的標(biāo)準(zhǔn)量與有限量和無(wú)限量之間的聯(lián)系，用于對(duì)有窮和無(wú)窮的判定，與現(xiàn)代數(shù)學(xué)中仍在使用的阿基米德公理有異曲同工之妙[15]，既深刻又簡(jiǎn)明。

　　（三）《墨子》中一些與幾何相關(guān)的概念之間是存在一定聯(lián)系的。《墨經(jīng)》同一條的經(jīng)文和經(jīng)說(shuō)一般是從不同的角度來(lái)說(shuō)明同一概念的，有時(shí)還會(huì)涉及相關(guān)聯(lián)的不同概念，它們的聯(lián)系建立在同一概念框架之上，如第2條的“厚”和“無(wú)厚”建立在是否有“所大”的基礎(chǔ)之上，第18條的“無(wú)窮”和“有窮”則建立在是否前面一直能“容尺”的基礎(chǔ)之上。《墨經(jīng)》的不同條目之間，或它們與《墨子》其他相關(guān)內(nèi)容之間，則更能顯示這種聯(lián)系。如第3條“端”的概念建立在“無(wú)厚”的基礎(chǔ)上，而在第2條中“厚”又建立在“有所大”的基礎(chǔ)上；第6條定義了“同長(zhǎng)”，而第7條的“中”建立在“同長(zhǎng)”的基礎(chǔ)之上，第8條的“圜”又建立在“同長(zhǎng)”和“中”的基礎(chǔ)上，而“中”和“圜”的界定又為解釋丸的不穩(wěn)定性服務(wù)，并為《大取》篇“小圜之圜與大圜之圜同”（[6]，246頁(yè)）之強(qiáng)調(diào)大小圓之間具有共同性提供了基礎(chǔ)。第12、13條的“有間”和“間”有相互說(shuō)明的關(guān)系，第14條的“纑”又是建立在第13條“間”的基礎(chǔ)之上，且在原文中第12—14條被合適地連續(xù)編排著；第15條界定了“攖”，并用第3條的“端”為例來(lái)說(shuō)明，第16條又用“攖”、第3條的“端”來(lái)解釋“仳”，第17條用“攖”來(lái)解釋“次”，這3條在原文中也被合適地連續(xù)編排著。第9條用方形柱子的四個(gè)角為例來(lái)界定了方，并以工具矩加以說(shuō)明，而第10條又用不同的方具有共性來(lái)說(shuō)明“一法者之相與也盡類”。第18條使對(duì)有窮和無(wú)窮的判斷建立在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)尺度的基礎(chǔ)之上。另外，墨家的端是無(wú)厚的，他們的線（尺）概念可能也是無(wú)厚的（因據(jù)第15條，端和尺進(jìn)行重疊操作時(shí)，“或盡或不盡”），第17條的“次”說(shuō)明無(wú)厚的東西可以無(wú)間隙而又不重合地排列在一起，因此墨家很可能認(rèn)為面可以由一系列平行的線排列而成（同樣線可以由一系列的點(diǎn)排列而成，立體可以由一系列的面排列而成），并且這種排列是以次（相鄰兩者之間緊挨著而又不重合）的方式進(jìn)行的。基于這種觀念，一塊面既可以視為由一系列并行的廣所構(gòu)成，又可以視為由一系列并行的脩構(gòu)成，這樣廣和脩就互相包涵和滲透了（“廣脩、堅(jiān)白”相盈，見(jiàn)第19條）。等等。總之，墨家的這些概念和思想超越了具體實(shí)物和經(jīng)驗(yàn)的層次，并形成了關(guān)聯(lián)性，在理論化方面超越了一般的水平。

　　但是，我們也不要過(guò)高地看待墨家?guī)缀螌W(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性。因?yàn)?（一）上面說(shuō)到《墨子》中的基本的幾何知識(shí)是不完整的，有不少很基本的幾何知識(shí)和概念并沒(méi)有包括在內(nèi)。《墨子》中的幾何知識(shí)偏重于定性而不重于定量，尤其是缺少算書中的大量計(jì)算方法，更沒(méi)有展示這些理論化知識(shí)與算書中的計(jì)算方法的聯(lián)系。（二）《墨經(jīng)》對(duì)形式化表達(dá)方式的運(yùn)用還不太精致，“經(jīng)上”篇中有的條目讀者很難區(qū)分是對(duì)概念的描述還是給出一個(gè)命題，如上引第20條固然可以理解為太陽(yáng)在中天（“日中”）的時(shí)候處在正南方向，而理解為所謂“日中”是指太陽(yáng)在正南方向亦非完全不合理。“經(jīng)下”篇中“說(shuō)在”所領(lǐng)句子的內(nèi)容有時(shí)也與前面的關(guān)鍵命題并無(wú)緊密聯(lián)系。如上引第10條關(guān)鍵的命題是“一法者之相與也盡類”，“若方之相以也，說(shuō)在方”是說(shuō)明關(guān)鍵命題的例子，它整個(gè)地處于從屬地位，其中的“說(shuō)在方”只是作為例證的一部分用來(lái)說(shuō)明“方之相以也”的，而不是直接用來(lái)說(shuō)明關(guān)鍵命題的。（三）《墨子》對(duì)一些概念和命題的描述有很多不夠完善和明確的地方，抽象程度也不很高，還帶有經(jīng)驗(yàn)的痕跡，甚至有的還非常明顯。如第9條對(duì)“方”的界定建立在用實(shí)物舉例的基礎(chǔ)之上；第2條“厚”的界定中“有所大”的主體（到底是長(zhǎng)度、面積、體積還是厚度）不明確，所以后來(lái)惠施提出“無(wú)厚不可積也，其大千里”的命題來(lái)立異；其他如第4條中“參”、第5條的“同高”、第6條的“缶相盡”、第7、8條的“同長(zhǎng)”、第11條的“秪”、第12條的“中”、第15條的“相得”、第17條的“無(wú)間而不相攖”等的主語(yǔ)都沒(méi)有出現(xiàn)，這種情況雖然有時(shí)候可以根據(jù)語(yǔ)境來(lái)判斷，但往往有相當(dāng)?shù)碾S意性。如第7條的“中”是指何種圖形的中，《墨經(jīng)》完全沒(méi)有交代，“自是往相若也”中的“往”是往何處也不說(shuō)明，這就留給讀者很大的想像空間。如果往的地方是所有的邊界點(diǎn)，那么這個(gè)圖形只能是圓周、球面或其一部分；而如果往的地方只是某些特殊的地方，例如直線形的頂點(diǎn)，則這個(gè)圖形可以是多種多樣的，如任意的三角形、任意的等腰梯形、正多邊形、長(zhǎng)方形、長(zhǎng)方體的、正多面體等，大凡圓內(nèi)接多邊形、球內(nèi)接多面體都符合條件。又如第21條“丸”的“正”、“無(wú)所處”、“中懸”按怎樣的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)認(rèn)定，都不明確，沒(méi)有揭露球的諸如過(guò)球心的任意平面截得一個(gè)大圓、球心到放置點(diǎn)的半徑為鉛垂線這樣比較容易看到的幾何性質(zhì)。類似的情況也見(jiàn)于其他一些條目。這種描述上的問(wèn)題，與古人使用語(yǔ)言的習(xí)慣有關(guān)系，在有的時(shí)候純屬語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，作者心中是清楚的；在有的時(shí)候作者的心里則并不是那么清楚。而滿足于不清晰、不明確的表述，既會(huì)使作者錯(cuò)過(guò)深化問(wèn)題的機(jī)會(huì)，也不利于后人的繼承與發(fā)展。（四）盡管上文已說(shuō)明《墨子》中幾何知識(shí)里的不同概念和思想具有關(guān)聯(lián)性，很多情況下也把相關(guān)的內(nèi)容羅列在一起，但也存在分散的情形，特別是墨家沒(méi)有把這種聯(lián)系進(jìn)行系統(tǒng)的、清楚的揭示；而且有些本來(lái)較易進(jìn)行系統(tǒng)化的地方《墨子》也沒(méi)有去做，甚至還出現(xiàn)了一些不協(xié)調(diào)和疏漏之處。如：（1）在原文中，關(guān)于“平”的第5條、關(guān)于“同長(zhǎng)”的第6條、關(guān)于“中”的第7條、關(guān)于“厚”的第2條、關(guān)于“日中”的第20條、關(guān)于“直”的第4條、關(guān)于“圜”的第8條和關(guān)于“方”的第9條等8條是連續(xù)編排的。這幾條的幾何意義比較明顯，放到一起是合適的。其中第7條緊接在第6條之后，第8條在第7條之后，因?yàn)楹笳哂玫角罢撸赃@種次序是大體不錯(cuò)的。但第8條與第7條中間隔了與它們的關(guān)系并不緊密的第3條，則顯得不甚合理。第5條中的“同高”顯然以第6條的“同長(zhǎng)”為基礎(chǔ)，但次序卻正好相反。而這八條與關(guān)于“端”的第3條、關(guān)于“有間”的第12條、關(guān)于“間”的第13條等幾何意義較明顯的三條又被“倍，為二也”條分割開來(lái)。這些頗為明顯的不合理次序，是容易調(diào)整的。類似的情形在《墨經(jīng)》中并不少見(jiàn)。（2）在第10條解釋方的共性時(shí)沒(méi)有用第9條對(duì)“方”的具體界定來(lái)說(shuō)明“一法者之相與也盡類”；對(duì)“間”和“有間”雖各有一條加以說(shuō)明，但第17條對(duì)“次”的界定中的“無(wú)間”卻與之關(guān)系并不密切。（3）“端”在第3條中指形體的邊緣，但在《墨經(jīng)》“非半弗著斤則不動(dòng)，說(shuō)在端”一條講分割一個(gè)長(zhǎng)條形物體時(shí)，隨著分割方式的不同，最后得到的端位置也不同，不僅可以在兩頭，還可以在形體的中間（“前后取則端中也”）（[5]，307—315頁(yè)）。這固然與其世界觀中把端作為事物的基本構(gòu)成單元的觀念相一致，但從形式和表述上說(shuō)，其間存在不協(xié)調(diào)性是顯然的。（五）點(diǎn)的概念在《幾何原本》中為線、面、體等各種圖形定位，發(fā)揮了非常基本而有效的作用。單就沒(méi)有大小這項(xiàng)意義來(lái)說(shuō)，《墨經(jīng)》中的“端”也具有相同的意義，并被作為圖形和事物的部分，但其定位功能沒(méi)有被充分的認(rèn)識(shí)，以至在第4條（“直”）、第5條（“平”）、第6條（“同長(zhǎng)”）、第7條（“中”）、第8條（“圜”）、第11條（“儇”）、第17條（“次”）、第20條（“日中”）等實(shí)際用到“端”這一觀念的地方，都沒(méi)有用到這個(gè)概念來(lái)進(jìn)行描述。對(duì)基本概念“尺”（線）、“區(qū)（穴）”（面）等的本質(zhì)的揭示就更少了。《墨子》沒(méi)有刻意讓基本概念發(fā)揮作用，不僅使它們的性質(zhì)和意義得不到充分的認(rèn)識(shí)，也使《墨子》的幾何知識(shí)錯(cuò)過(guò)了擁有一個(gè)基本生長(zhǎng)點(diǎn)的機(jī)會(huì)[8]。（六）《墨子》雖有一些關(guān)于邏輯推理方式的描述，我們相信在其幾何學(xué)知識(shí)中會(huì)有意或無(wú)意地用到（[5]，368—372、389—391頁(yè)），但沒(méi)有證據(jù)表明他們刻意嚴(yán)格地（特別是按形式化的方式）用于他們的幾何學(xué)知識(shí)。因此，這些概念之間的關(guān)聯(lián)性還是比較松散的。總之，從總體上說(shuō)，《墨子》中幾何知識(shí)的理論性還比較初步。它對(duì)幾何概念本質(zhì)屬性的提煉還不夠精到、尚帶有明顯的經(jīng)驗(yàn)痕跡，它對(duì)基本概念的關(guān)鍵作用也認(rèn)識(shí)得不夠深入。在對(duì)這些幾何知識(shí)的編排上，《墨子》主要是對(duì)條目進(jìn)行有意識(shí)的羅列，而不重于對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的編織；編作者雖然意識(shí)到推理的重要性，但沒(méi)有刻意用較嚴(yán)格的推理方式來(lái)明白地揭示不同幾何知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系而使之成為關(guān)聯(lián)性強(qiáng)的知識(shí)系統(tǒng)。

　　《墨子》（特別是《墨經(jīng)》）與其他絕大多數(shù)文獻(xiàn)相比，在注重抽象概念、邏輯推理，關(guān)注科技等方面，顯得非常突出。但墨家的學(xué)說(shuō)從秦漢以來(lái)除很少的時(shí)間內(nèi)有非常少的學(xué)者關(guān)注外，長(zhǎng)期不受重視，只是中國(guó)近代以來(lái)由于落后挨打?qū)е聡?guó)民的自信心與自尊心受到傷害，《墨子》才重新受到特別的關(guān)注。近現(xiàn)代很多學(xué)者經(jīng)常用這一文獻(xiàn)來(lái)說(shuō)明中國(guó)曾經(jīng)在抽象理論和科技方面也曾有過(guò)非凡的建樹。在數(shù)學(xué)方面，古代西方世界以古希臘（特別是其幾何學(xué)）為代表，一脈相承地深刻地影響到當(dāng)代的數(shù)學(xué)，因此，古希臘的幾何學(xué)就成為研究《墨子》中數(shù)學(xué)知識(shí)的參照。有的學(xué)者以為《墨子》中有一些可以用西方古典及近代數(shù)學(xué)解釋的內(nèi)容，就過(guò)高地估計(jì)了《墨子》中數(shù)學(xué)（主要是幾何學(xué)）的水平，甚至有學(xué)者說(shuō)“墨家在數(shù)學(xué)方面的成就遠(yuǎn)不止于平面幾何，還涉及數(shù)學(xué)方面的許多領(lǐng)域，但因《墨經(jīng)》原文訓(xùn)詁為難，又因《墨經(jīng)》本身頗多脫落，實(shí)難作正確全面的估價(jià)。但就現(xiàn)有能作訓(xùn)詁的經(jīng)文論，墨家在數(shù)學(xué)方面的成就超出當(dāng)時(shí)的世界水平，或者說(shuō)，是當(dāng)時(shí)世界的先進(jìn)水平”[16]，“一部《墨經(jīng)》無(wú)論在自然科學(xué)哪一方面，都超過(guò)整個(gè)希臘，至少等于整個(gè)希臘”[17]。這是極不妥當(dāng)?shù)腫9]。因?yàn)榕袛鄡蓚€(gè)文明中某項(xiàng)科學(xué)的水平高低，是個(gè)科學(xué)問(wèn)題，應(yīng)持客觀求實(shí)的態(tài)度，不能帶有民族感情。尤其對(duì)于理論性的幾何學(xué)，不能因?yàn)閮蓚€(gè)文明有部分近似概念和命題就說(shuō)水平相當(dāng)，或其中一個(gè)文明有的幾何概念在另一個(gè)文明中沒(méi)有、或具有更寬泛的意義就斷定前者比后者高明；而不應(yīng)忽視以下一些重要方面：幾何概念的界定是否有合適的內(nèi)涵與外延，對(duì)概念的抽象性和普遍性提煉到何種程度，幾何知識(shí)的各個(gè)部分之間以何種方式建立了多少在多大程度上清晰、準(zhǔn)確的聯(lián)系，這些知識(shí)的廣度和深度如何[10]。從這種角度看，《墨子》中的幾何知識(shí)，雖然在抽象性和理論性方面超過(guò)同代的其他諸子，甚至在其后的中國(guó)古代傳統(tǒng)文獻(xiàn)中也鮮有堪與比肩者，其個(gè)別概念或命題比之古希臘幾何學(xué)亦有獨(dú)到之處[11]，但整體上仍屬于邁向理論幾何學(xué)的初級(jí)階段，距離整套的幾何學(xué)理論還相去甚遠(yuǎn)。

　　在古希臘，數(shù)學(xué)家繼承了古埃及和古巴比倫的幾何學(xué)知識(shí)，并發(fā)揚(yáng)光大，把從實(shí)際中發(fā)端的幾何學(xué)知識(shí)和觀念進(jìn)行抽象化和普遍性的提煉，注重理論分析，使之成長(zhǎng)為一個(gè)自成體系的理論化學(xué)科。古希臘從泰利士開始，經(jīng)畢達(dá)哥拉斯及其學(xué)派、巧辯學(xué)派、埃利亞學(xué)派、柏拉圖、歐多克索斯、亞里士多德、歐幾里得等眾多名家和學(xué)派的努力，使幾何學(xué)發(fā)展成為形式嚴(yán)整、內(nèi)容極為豐富的學(xué)科，特別是歐幾里得總結(jié)前賢的思想和成就，于公元前300年左右寫成《幾何原本》，通過(guò)抽象的概念、普遍性的公理、公設(shè)，利用演繹邏輯進(jìn)行推導(dǎo)，一環(huán)套一環(huán)嚴(yán)格地建立了眾多數(shù)學(xué)定理和命題（大多數(shù)是幾何學(xué)方面的），形成了一個(gè)內(nèi)容豐富的完整的理論系統(tǒng)，反映了此前古希臘幾何學(xué)的成就和理論深度，并為此后科學(xué)的發(fā)展樹立了公理化體系的典范[21，22]。書中雖或有不盡如人意之處，但其幾何學(xué)不論從內(nèi)容的廣度、深度，概念的抽象化和清晰化程度，還是組織的系統(tǒng)性，論述的嚴(yán)格性，命題和定理的復(fù)雜性和豐富性，都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)《墨子》（含《墨經(jīng)》）甚至現(xiàn)存所有中國(guó)傳統(tǒng)文獻(xiàn)中的幾何知識(shí)和思想。古希臘的幾何學(xué)在歐幾里得之后又由阿基米德、阿波羅尼奧斯等提升到一個(gè)新的高度，特別是阿基米德的觸角已經(jīng)伸到近代的微積分[22，23]，這絕非《墨子》（含《墨經(jīng)》）所能望其項(xiàng)背的。

　　總之，《墨子》中的幾何學(xué)知識(shí)，是作為其世界觀中與幾何學(xué)有關(guān)（或者說(shuō)蘊(yùn)涵有幾何學(xué)觀念）的基礎(chǔ)知識(shí)來(lái)呈現(xiàn)的，具有一定的抽象性，顯示出一定的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了一定的理論水平。這對(duì)研究中國(guó)數(shù)學(xué)史和中國(guó)科學(xué)思想史有著重要的意義。另一方面，從世界數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)發(fā)展的邏輯來(lái)看，由于《墨子》中的幾何學(xué)知識(shí)和思想，比一般經(jīng)驗(yàn)知識(shí)水平高，但又沒(méi)有達(dá)到成熟理論的程度，且這些知識(shí)的不同部分還存在差異，這些幾何知識(shí)和思想也為我們立體地考察數(shù)學(xué)在全世界的發(fā)展，特別是不同早期文明中數(shù)學(xué)發(fā)展的特點(diǎn)，以及人類關(guān)于空間形式的認(rèn)識(shí)如何從經(jīng)驗(yàn)、常識(shí)、寬泛的哲學(xué)觀念向清晰的、抽象的、系統(tǒng)的理論方面發(fā)展提供了重要的研究樣本，其學(xué)術(shù)價(jià)值是不容低估的。

3? 從《墨子》看先秦時(shí)期的幾何學(xué)知識(shí)

　　前面說(shuō)到《墨子》的幾何學(xué)無(wú)法和古希臘相比，但這并不意味著先秦時(shí)期的幾何只限于《墨子》的水平[12]。有文獻(xiàn)反映當(dāng)時(shí)的幾何學(xué)還有更多更高的成就，雖然從抽象化和理論化的角度來(lái)說(shuō)，也仍沒(méi)法與古希臘的幾何學(xué)相比。

　　《莊子·天下》篇說(shuō)：“相里勤之弟子，五侯之徒，南方之墨者，苦獲已齒鄧陵子之屬，俱誦墨經(jīng)而倍譎不同，相謂別墨，以堅(jiān)白同異之辯相訾，以觭偶不仵之辭相應(yīng)，以巨子為圣人，皆愿為之尸，冀得為其后世，至今不決”[24]。根據(jù)這一記載，墨家在分裂以后，各派都還誦讀《墨經(jīng)》，《墨經(jīng)》是墨家各派共同學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)知識(shí)的匯編，帶有教程的性質(zhì)。上面的討論也說(shuō)明《墨子》的幾何學(xué)知識(shí)（主要是《墨經(jīng)》中與幾何有關(guān)的概念和命題），只是墨家門徒所要學(xué)習(xí)的基本知識(shí)，它們既不代表墨家在幾何學(xué)方面的總體水平，因而更不能代表先秦?cái)?shù)學(xué)在理論方面所達(dá)到的最高成就。相反《墨經(jīng)》的教材性質(zhì)，既說(shuō)明它會(huì)在一定程度上取材于當(dāng)時(shí)的幾何理論，也說(shuō)明先秦學(xué)術(shù)界在幾何學(xué)理論方面有更高的成就和更豐富的知識(shí)。

　　《墨經(jīng)》既然是人人“俱誦”的教程，非常簡(jiǎn)略，所以《墨經(jīng)》中的理論性、抽象性較強(qiáng)的概念和命題，只是當(dāng)時(shí)存在的更多幾何知識(shí)中被篩選出的一部分基礎(chǔ)知識(shí)，還有更多的知識(shí)在書中沒(méi)有得到反映。再者，《墨經(jīng)》中的幾何基礎(chǔ)知識(shí)為墨徒所學(xué)習(xí)之后，自然會(huì)有一些墨徒在這方面有所精進(jìn)，提出很多新的、水平更高的成果。另外，在當(dāng)時(shí)百家爭(zhēng)鳴的背景下，這些成果也會(huì)直接或間接影響到其他學(xué)派的學(xué)者，從而產(chǎn)生更多的幾何知識(shí)。只是由于文獻(xiàn)殘缺，我們現(xiàn)在還不知道這些成果達(dá)到了什么程度。可以肯定的是，名家的惠施、辯者（《莊子·天下》篇的說(shuō)法[13]）受到影響，有所發(fā)展或反動(dòng)。下面我們舉幾個(gè)例子：

　　（1）《墨經(jīng)》中有圓和方的定義，并認(rèn)為它們可以用規(guī)和矩作出。但辯者根據(jù)墨家已有的圓、方定義，得出不同的結(jié)果。由于圓、方都由點(diǎn)（“端”）構(gòu)成，而這些點(diǎn)又是“無(wú)厚”（量度為零）的，那么用規(guī)、矩作出的圓、方，其點(diǎn)有大小、其線條有粗細(xì)，因此不可能完全符合于墨家的定義，因此辯者提出一個(gè)驚世駭俗的命題“矩不方，規(guī)不可以為圓。”[14]（[24]，479頁(yè)）

　　（2）《墨經(jīng)》認(rèn)為端是無(wú)厚的，是其自然觀中構(gòu)成萬(wàn)物的基本單元，同時(shí)墨家還說(shuō)按不同的方式著斤一個(gè)長(zhǎng)條物最后會(huì)在不同的位置得到端。辯者發(fā)現(xiàn)墨家的思想存著矛盾，提出“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”（[24]，479頁(yè)）的命題與墨家立異：一尺的棍子，每天取走一半，不論到哪一天，余下的都是長(zhǎng)度（第n天后余下的長(zhǎng)度為尺）大于無(wú)厚（沒(méi)有長(zhǎng)度）的一節(jié)短棍，而不是無(wú)厚的端。墨家忽視分割步驟的無(wú)限性而強(qiáng)調(diào)無(wú)限分割的結(jié)果，辯者強(qiáng)調(diào)無(wú)限分割過(guò)程在具體操作上的不可完結(jié)性，從而使墨家對(duì)分割過(guò)程的無(wú)限性的跨越遇到了難以克服的困難。從墨家到名家關(guān)于無(wú)限觀念的思想衍變，古希臘也出現(xiàn)過(guò)類似的情形，并成為歐多克索斯創(chuàng)立規(guī)避無(wú)限過(guò)程的窮竭法的重要推動(dòng)力（[20]，22—46頁(yè)）。可惜沒(méi)有史料可以反映辯者的這種思想對(duì)先秦?cái)?shù)學(xué)上產(chǎn)生了什么影響。

　　（3）墨家定義厚時(shí)，只說(shuō)“有所大”，而無(wú)厚則是“無(wú)所大”。那么“有所大”、“無(wú)所大”的主語(yǔ)是什么，是指長(zhǎng)度、面積還是體積而言，墨家的定義中并沒(méi)有涉及。因此這個(gè)籠統(tǒng)的概念就容易被別人抓到把柄。惠施很可能正是看到這里存在的漏洞，提出“無(wú)厚不可積也，其大千里”，說(shuō)明無(wú)厚（線或面）雖然不能積成有厚的（面或立體），但無(wú)厚本身卻能大到千里。在惠施看來(lái)，線就其面積（或?qū)挾龋﹣?lái)說(shuō)、面就其體積（或厚度）來(lái)說(shuō)，都沒(méi)有具體的數(shù)值（量度都為零），但線就其長(zhǎng)度來(lái)說(shuō)、面就其面積（或長(zhǎng)度、寬度）來(lái)說(shuō)都可以大到千里。另外，既然每一個(gè)對(duì)象都無(wú)厚，無(wú)厚和無(wú)厚相加到一起還是無(wú)厚，再繼續(xù)相加仍為無(wú)厚，所以說(shuō)“無(wú)厚不可積也”（[24]，476頁(yè)）。

　　（4）抽象地看墨家“儇，秪”的命題，可以認(rèn)為是圓環(huán)在直線上滾動(dòng)時(shí)，處處與直線相切。這樣，環(huán)上的每一點(diǎn)都和直線上某一點(diǎn)重合。那么，當(dāng)環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)，圓環(huán)上的所有點(diǎn)都與直線上的相應(yīng)點(diǎn)重合，這意味著圓環(huán)的所有點(diǎn)都可以轉(zhuǎn)移到直線上，亦即圓可以轉(zhuǎn)化為一條直線段。按照這種觀點(diǎn)，連環(huán)的每一個(gè)環(huán)都可以轉(zhuǎn)化為一條直線段，那么連環(huán)就解開了。所以惠施說(shuō)“連環(huán)可解也”（[24]，477頁(yè)）。這里的“可”意味著不是實(shí)際的操作而是指理論上的可能性，體現(xiàn)了惠施從更抽象的角度來(lái)考慮問(wèn)題的方式。辯者“輪不蹍地”（[24]，478頁(yè)）的命題則從運(yùn)動(dòng)的角度與墨家立異：輪在地上滾動(dòng)時(shí)，如果輪蹍地，那么它與地面總有一個(gè)接觸點(diǎn)既在輪上又在地面上。辯者認(rèn)為，對(duì)于每一個(gè)接觸點(diǎn)，一方面，它在輪上，所以必然隨著輪子的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)；另一方面，它在地上，所以必然又是不動(dòng)的。這樣一來(lái)，只要假設(shè)輪蹍地，就會(huì)產(chǎn)生同一點(diǎn)就既動(dòng)又不動(dòng)的矛盾。因此辯者就由反證得出了“輪不蹍地”這樣一個(gè)驚世駭俗的結(jié)論。由于當(dāng)時(shí)人們對(duì)于事物的動(dòng)靜，不論是對(duì)時(shí)刻還是時(shí)間段，都總是以位置是否移動(dòng)來(lái)衡量，而未發(fā)展到以速度是否為零來(lái)作為考察指標(biāo)，因此，它們得出這樣違背常識(shí)的結(jié)論是自然的，別的學(xué)者不能駁斥而又不愿意接受辯者的高級(jí)錯(cuò)誤也是自然的（[25]；[5]，402—404、421—429頁(yè)）。

　　（5）《公孫龍子·堅(jiān)白論》中的客方說(shuō)：“石之白，石之堅(jiān)，見(jiàn)與不見(jiàn)，二與三，若廣修而相盈也。其非舉乎？”[26]這和墨家的思想是一致的。客方是公孫龍所反對(duì)的對(duì)象，于此還可看出《墨經(jīng)》的命題或其流變亦為公孫龍所注意并作為他批判的對(duì)象了。不過(guò)，《公孫龍子》沒(méi)有對(duì)“廣修”相盈作出反應(yīng)，也許是現(xiàn)存文獻(xiàn)脫落。當(dāng)然也有可能是公孫龍認(rèn)為廣脩相盈和“堅(jiān)白”相盈是兩回事，不必在這篇主要論述堅(jiān)白的文章里涉及。但廣脩相盈的思想在墨家之后也已為人們所注意則是無(wú)疑的。因此，這種思想應(yīng)是當(dāng)時(shí)人們所討論的對(duì)象。

　　名家文獻(xiàn)絕少保存至今，上面的例子只是現(xiàn)存文獻(xiàn)中一些結(jié)論性命題和我的詮釋（[5]，396—431頁(yè)）。我的解釋基于以下幾個(gè)基本方面的考慮：（1）以文獻(xiàn)中已有概念及其涵義為基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)，按最貼近文本的方式進(jìn)行，減少跳躍性，避免先入之見(jiàn)和過(guò)度闡釋。（2）在墨、名二家關(guān)系上，《墨經(jīng)》為墨家分裂后各派所俱誦，說(shuō)明至少它的主體部分成于墨家分裂之前，在公元前4世紀(jì)中葉偏早（[27]；[5]， 223—261頁(yè)），與惠施的早年相接。（3）《莊子·天下》篇（[24]，461—481頁(yè)）中載惠施與辯者相訾應(yīng)，同時(shí)也提及學(xué)習(xí)《墨經(jīng)》的各派墨家互相爭(zhēng)論攻擊，卻沒(méi)有提到墨家批評(píng)惠施、辯者，說(shuō)明這幾派墨家并沒(méi)有刻意去批評(píng)他們，更早的《墨經(jīng)》編作者更不可能去批評(píng)他們。而在相關(guān)問(wèn)題上，與惠施、辯者等有很強(qiáng)的立異心態(tài)不同，墨家的意見(jiàn)主要在立而不在破，即使偶有針對(duì)性，也只是墨家在內(nèi)部進(jìn)行“能談辯者談辯”（[6]，257頁(yè)）時(shí)所表示的意見(jiàn)，或者是針對(duì)更早的名家鄧析。（4）惠施及其后的辯者的命題，揭示了科學(xué)思想中的一些關(guān)鍵問(wèn)題，如果墨家要批評(píng)的話，應(yīng)該針對(duì)這些關(guān)鍵點(diǎn)。而事實(shí)上惠施、辯者的立異和批評(píng)的姿態(tài)要明顯得多，其意見(jiàn)基于更抽象的概念，以古代的知識(shí)難以駁倒。因此按從《墨經(jīng)》編作者到惠施及其后辯者的順序來(lái)解釋是符合歷史發(fā)展的邏輯的。（5）《莊子·天下》記載，惠施“徧為萬(wàn)物說(shuō)”，提出10個(gè)論題（后人稱為“歷物十事”），并以此誘導(dǎo)一大群辯者，辯者也提出21個(gè)論題（后人稱為“辯者二十一事”），他們熱烈地辯論，樂(lè)此不疲，“終身無(wú)窮”。他們的討論，與眾不同，“弱于德，強(qiáng)于物”，“能勝人之口，不能服人之心”。《天下》的記載說(shuō)明兩方面的問(wèn)題。第一，名家關(guān)心世界萬(wàn)物，并有擅長(zhǎng)，只是對(duì)社會(huì)人倫的看法不見(jiàn)容于世，但他們的看法必有基于當(dāng)時(shí)能夠用語(yǔ)言表達(dá)的概念和認(rèn)識(shí)的論證（[5]，218—223、392—444頁(yè)）。這種論證雖或與當(dāng)時(shí)人們的部分常識(shí)或感覺(jué)有不一致之處，“不能服人之心”，但反對(duì)者講道理講不過(guò)他們，無(wú)法反駁，因此名家的論證必定有很強(qiáng)的邏輯性。第二，當(dāng)時(shí)參與討論的人很多，且熱情洋溢，可謂聲勢(shì)浩大。所以上面所述惠施及辯者的幾何知識(shí)和思想，決不是他們的幾何觀念的全部，而只是一部分，他們肯定會(huì)有更多的涉及幾何學(xué)的成果。由于上面的討論已經(jīng)說(shuō)明惠施及其后的名家在墨家基礎(chǔ)上就某些問(wèn)題有所推進(jìn)，更注意從抽象概念的角度來(lái)討論問(wèn)題，所以當(dāng)時(shí)必定會(huì)有一些理論性較強(qiáng)的幾何知識(shí)超出現(xiàn)存文獻(xiàn)之外，不僅墨、名二家會(huì)有，其他諸子也會(huì)有，特別是數(shù)學(xué)家、天文歷法家應(yīng)該在理論性幾何方面會(huì)有一些新成果。

　　我國(guó)現(xiàn)存的上古數(shù)學(xué)著作以《九章算術(shù)》為代表，它匯集了從先秦到西漢實(shí)用算法式數(shù)學(xué)的主要成就。據(jù)研究，《九章算術(shù)》的絕大部分方法是先秦時(shí)期就已經(jīng)存在的。其中有各種面積、體積公式，勾股定理及各種測(cè)量方法等幾何成果。不過(guò)，《九章算術(shù)》只記錄有方法而沒(méi)有記錄推導(dǎo)。由于很多方法非常復(fù)雜，很難想像單憑經(jīng)驗(yàn)或猜測(cè)能獲得正確的結(jié)論。這曾讓一些學(xué)者納悶。但是，如果我們聯(lián)系先秦時(shí)期《墨子》中所反映的幾何學(xué)知識(shí)，這就不難理解了。墨家不僅有很多幾何概念和命題，而且用到出入相補(bǔ)原理，并有進(jìn)行出入相補(bǔ)的操作方式[14]。另外，《墨子》中有“次”的排列方式、廣和脩相盈的思想，因而肯定會(huì)有面積由一系列線組成的思想，也會(huì)有立體由一系列面積合成的思想（這種思想用西方的數(shù)學(xué)史術(shù)語(yǔ)可以叫做“不可分量可積”，是所謂卡瓦列利原理的基礎(chǔ)）。有了這兩種思想和方法，古人借助畫圖的方法和立體模型這樣直觀的方式，再利用《墨經(jīng)》中已有反映的推理模式（不限于幾何而是在更大范圍內(nèi)適用），就足以推導(dǎo)出《九章算術(shù)》中那些數(shù)學(xué)公式（[5]，385—391、498—508頁(yè)）。從約公元前186年墓中出土了一部《算數(shù)書》，它是一部取材于更早時(shí)代若干數(shù)學(xué)著作的撮編之作。書中有大量面積和體積計(jì)算的方法，這與其他簡(jiǎn)牘材料（特別是睡虎地秦簡(jiǎn)）、傳世文獻(xiàn)相結(jié)合，正好可以說(shuō)明《九章算術(shù)》的主要方法出于先秦時(shí)期[12，13，28，29]。

　　先秦幾何學(xué)知識(shí)有兩類，一類是理論性的幾何學(xué)知識(shí)，另一類是實(shí)用算法式的幾何學(xué)知識(shí)[5]。對(duì)第一類，在上述《墨子》和關(guān)于名家的文獻(xiàn)中有直接的反映，《周髀算經(jīng)》和《算數(shù)書》中也有些痕跡（[5]，372、489—493、498—508頁(yè)；[14]；[30]；[31]；[32]）[15]，上面的論述說(shuō)明當(dāng)時(shí)的這類知識(shí)還應(yīng)該包括若干以這些文獻(xiàn)中已有的理論化知識(shí)為基礎(chǔ)或與之相關(guān)的理論化的知識(shí)，以及一些與幾何量計(jì)算方法有關(guān)的講究推導(dǎo)的幾何概念、命題和方法，當(dāng)然還可能包括其他理論性較強(qiáng)的知識(shí)（盡管在有幸保存至今的少量文獻(xiàn)中難以得到反映）。而通過(guò)《墨子》與《算數(shù)書》、現(xiàn)存西漢后期編定而絕大部分方法已在先秦出現(xiàn)的《九章算術(shù)》及其他文獻(xiàn)對(duì)照，我們也能證明后一類幾何知識(shí)曾有高度的發(fā)展[12，13，28]。這兩類知識(shí)大體上能區(qū)分開來(lái)，但都以現(xiàn)實(shí)問(wèn)題為基礎(chǔ)發(fā)展而來(lái)，它們又是互相影響、彼此促進(jìn)的，特別是在理論推導(dǎo)與幾何量計(jì)算方法的結(jié)合部更是如此。3世紀(jì)時(shí)劉徽注《九章算術(shù)》、趙爽注《周髀算經(jīng)》，都用到不少推導(dǎo)和理論知識(shí)（[2]，57—60、64—70頁(yè)；[33]），其中作為其方法和思想或其基礎(chǔ)的出入相補(bǔ)原理、不可分量可積思想、無(wú)限分割等正好和《墨子》與名家的幾何觀念相銜接，這說(shuō)明在先秦時(shí)期創(chuàng)造幾何量計(jì)算方法的時(shí)候，確實(shí)存在相應(yīng)的理論推導(dǎo)，只是未保存到后來(lái)（[5]，501—508；[34]）。但是，現(xiàn)在所知上古時(shí)代算法式幾何知識(shí)的概念和命題，在現(xiàn)存文獻(xiàn)中所反映的墨家和名家的理論化幾何知識(shí)中極少能見(jiàn)到明確的表述；而且上述理論化幾何知識(shí)中的概念和命題也很少在算法式數(shù)學(xué)著作中有明確的應(yīng)用，所以先秦時(shí)期對(duì)幾何量的計(jì)算方法的推導(dǎo)雖然存在，但這種推導(dǎo)在表述上是不完備的，其形式性和嚴(yán)格性很可能在總體上是比較弱的；同時(shí)先秦時(shí)期抽象性較強(qiáng)的理論化幾何知識(shí)，雖比現(xiàn)存文獻(xiàn)所載要豐富和深入一些，但也不大可能在整體上有較大的提升，特別是在系統(tǒng)性上更是如此，因?yàn)樾纬沙橄蟮南到y(tǒng)性知識(shí)所需要的推動(dòng)力(不論是來(lái)自數(shù)學(xué)家的自發(fā)還是社會(huì)需要和思想界的要求),在中國(guó)先秦時(shí)代確實(shí)沒(méi)法同古希臘相比。

　　先秦時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展的多樣化，豐富了當(dāng)時(shí)的思想和文化，是當(dāng)時(shí)學(xué)術(shù)繁榮、思想和文化多元化的一個(gè)重要組成部分。現(xiàn)存材料所反映出的先秦時(shí)期的兩種幾何知識(shí)，雖然彼此間存在著聯(lián)系，但由于兩種知識(shí)的形態(tài)、概念差異比較大，因此這種聯(lián)系主要是若隱若現(xiàn)的，明確清晰的聯(lián)系不會(huì)很多。這種情形與當(dāng)時(shí)不同諸子之間互相影響的方式也具有相似性。

　　春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的中國(guó)與古希臘的幾何學(xué)的進(jìn)步，也反映了軸心時(shí)代不同文明的學(xué)術(shù)思想的一些共同特點(diǎn)。當(dāng)時(shí)兩地都處于一個(gè)社會(huì)變革階段，學(xué)術(shù)爭(zhēng)鳴、思想解放，都促成了數(shù)學(xué)的大發(fā)展。人們都具有開闊的視野，極力理解周圍廣大的世界，因此在反映空間形式的幾何學(xué)方面都有大的發(fā)展，并注重揭示其中具有抽象性和普遍性的本質(zhì)內(nèi)涵，因而在幾何理論方面都較前代有大的進(jìn)步。但是兩個(gè)文明的數(shù)學(xué)也有明顯的不同。古希臘的數(shù)學(xué)完成了從滿足實(shí)際需要到形成抽象理論的飛躍，主要在幾何概念與命題的抽象化和定理的證明上有重大進(jìn)展，并形成非常嚴(yán)格的公理化體系，而在實(shí)用算法方面發(fā)展得不充分（盡管在幾何量計(jì)算方法方面也非常發(fā)達(dá)），這與古希臘在城邦制度下整個(gè)思想領(lǐng)域?qū)碚摵腕w系的追求遠(yuǎn)勝于理論之用于實(shí)際的情形是一致的。先秦時(shí)期的中國(guó)數(shù)學(xué)則在實(shí)用算法方面有相當(dāng)充分的發(fā)展，在從實(shí)際和具體的知識(shí)提升到抽象理論方面也有一定程度的進(jìn)步，但不太充分。先秦時(shí)期的幾何學(xué)知識(shí)在抽象化、形式化的理論方面所達(dá)到的水平，雖然比現(xiàn)存關(guān)于墨家和名家的文獻(xiàn)等材料所呈現(xiàn)的程度要高一些，但我們看不到它曾經(jīng)形成了嚴(yán)整體系的痕跡，當(dāng)時(shí)應(yīng)該離完成新領(lǐng)域的全面突破有比較大的距離，更不用說(shuō)形成了公理化的系統(tǒng)。這與當(dāng)時(shí)諸侯爭(zhēng)霸、社會(huì)急需解決生產(chǎn)、管理等問(wèn)題有關(guān)，也與在此種社會(huì)背景下形成的思想文化在總體上關(guān)注政治、人倫、經(jīng)濟(jì)、軍事等實(shí)際問(wèn)題，有創(chuàng)造、有理論而不追求嚴(yán)整體系的整個(gè)狀況也是一致的。不過(guò)，比起后世來(lái)說(shuō)，戰(zhàn)國(guó)時(shí)代中國(guó)幾何學(xué)的理論傾向還是比較發(fā)達(dá)的。但是，隨著大一統(tǒng)專制帝國(guó)的興起和鞏固，先秦時(shí)代豐富的多元文化和思想被整合成相對(duì)單一的格局，在先秦時(shí)期已經(jīng)產(chǎn)生但尚未充分發(fā)展起來(lái)的理論化數(shù)學(xué)知識(shí)又很快衰微了，其中專注抽象概念及其聯(lián)系的部分幾乎一蹶不振，而其中與計(jì)算有關(guān)的部分也主要通過(guò)融入算法的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)中而在不同的歷史時(shí)期或隱或顯、或強(qiáng)或弱地有所體現(xiàn)，但從未呈現(xiàn)出系統(tǒng)、完整、嚴(yán)格、清晰的數(shù)學(xué)理論。于是，實(shí)用算法式數(shù)學(xué)就占據(jù)了數(shù)學(xué)的絕大部分陣地，決定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本走向。這與中國(guó)思想文化發(fā)展的基本態(tài)勢(shì)仍保持著一致性。

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11 錢寶琮．墨經(jīng)力學(xué)今釋[J]．科學(xué)史集刊 第八集．北京：科學(xué)出版社，1965．65—72．

12 鄒大海．出土《算數(shù)書》初探[J]．自然科學(xué)史研究，2001，20（3）：193—205．

13 鄒大海．睡虎地秦簡(jiǎn)與先秦?cái)?shù)學(xué)[J]．考古，2005，（6）：57—65．

14 鄒大海．從先秦文獻(xiàn)和《算數(shù)書》看出入相補(bǔ)原理的早期應(yīng)用[J]．中國(guó)文化研究，2004，冬之卷：52—60．

15 鄒大海．對(duì)一條涉及無(wú)窮大的《墨經(jīng)》條文的考釋——兼及與阿基米德公理的比較[J]．中國(guó)科技史料，1995，16（4）：70—76．

16 楊向奎．墨經(jīng)數(shù)理研究[M]．濟(jì)南：山東大學(xué)出版社，2000．70．

17 楊向奎．楊向奎教授的講話（錄音整理稿）[A]．墨子大全·墨子研究論叢（一）［Z］．第68冊(cè)．北京：北京圖書館出版社，2004．50—59．

18 鄭杰文．中國(guó)墨學(xué)通史[M]．北京：人民出版社，2006．461．

19 劉樹勇，王洪鵬．《墨經(jīng)》與《考工記》中的力學(xué)知識(shí)[A]．曹勝?gòu)?qiáng)，劉卓彩．墨子研究[C]．北京：中國(guó)社會(huì)科學(xué)出版社，2008．133—145．

20 卡爾·B·波耶．微積分概念發(fā)展史[M]．唐生譯．上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2007．22—46．

21 Heath, T.．A history of Greek mathematics[M]．Oxford ：Oxford University Press, 1921．

22 Knorr, R. K. ．Greek Mathematics[A]. Encyclopaedia Britannica 2009[Z]. Chicago：Encyclopaedia Britannica, Inc. , 2009．

23 內(nèi)茲，諾爾．阿基米德寶典：失落的羊皮書[M]．曹亮吉譯．臺(tái)北：天下遠(yuǎn)見(jiàn)出版股份有限公司，2007．175—254．

24 郭慶藩．莊子集釋[A]．諸子集成[Z]．上海：上海書店，1991．466—467．

25 鄒大海．“輪不蹍地”諸說(shuō)考評(píng)與新解[J]．哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版），2000，2（4）：45—49．

26 龐樸．公孫龍子研究[M]．北京：中華書局，1985．40．

27 徐克明．論《墨經(jīng)》的著作年代[A]．北京?1990中國(guó)科學(xué)技術(shù)史國(guó)際學(xué)術(shù)研討會(huì)論文集[C]．北京：中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社，1992：68—73．

28 鄒大海．出土簡(jiǎn)牘與中國(guó)早期數(shù)學(xué)史[J]．（臺(tái)灣）《人文與社會(huì)》學(xué)報(bào)，2008，2（2）：71—98．

29 郭書春．《算數(shù)書》初探[A]．國(guó)學(xué)研究[C]．第11卷．北京：北京大學(xué)出版社，2003：307—347．

30 洪萬(wàn)生．《算數(shù)書》的幾則論證[J]．臺(tái)灣歷史學(xué)會(huì)會(huì)訊，2000，（11）：44—52．

31 洪萬(wàn)生．《算數(shù)書》初探[J]．師大學(xué)報(bào)：科學(xué)教育類，2000，45（2）：77—90．

32 郭書春．試論《筭數(shù)書》的理論貢獻(xiàn)與編纂[A]．法國(guó)漢學(xué) [C]．第6輯（科技史專號(hào)）．北京：中華書局，2003．505—537．

33 郭書春．古代世界數(shù)學(xué)泰斗劉徽[M]．濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，1992．268—321．

34 鄒大海．劉徽的無(wú)限思想及其解釋[J]．自然科學(xué)史研究，1995，14（1）：12—21．

注釋：

[1] “先秦”有廣義和狹義兩種用法，廣義指秦國(guó)統(tǒng)一中國(guó)以前，狹義指春秋戰(zhàn)國(guó)。本文取狹義。

[2] 其中比較值得重視的是錢寶琮、李約瑟（Joseph Needham）和葛瑞漢（Angus Charles Graham）的工作。早在20世紀(jì)30年代初，錢先生即討論了《墨經(jīng)》中與幾何相關(guān)的條目，并注意到名家在某些方面的進(jìn)步[1]。后來(lái)他又有所修正和改進(jìn)[2]。李約瑟（Joseph Needham）從世界數(shù)學(xué)史的角度來(lái)探討，認(rèn)為《墨經(jīng)》中有關(guān)條目包含有理論幾何學(xué)的萌芽，但中國(guó)古代數(shù)學(xué)家從未發(fā)展出獨(dú)立于數(shù)量、純粹以公理、公設(shè)為基礎(chǔ)進(jìn)行證明的理論幾何學(xué)[3]。葛瑞漢對(duì)《墨經(jīng)》進(jìn)行了全面的校訂、解釋和翻譯，并對(duì)其中有關(guān)幾何的條目做了集中的討論[4]。但他們的校釋還不太令人滿意，在總體上的討論遠(yuǎn)未達(dá)到系統(tǒng)、全面的程度，也有一些不準(zhǔn)確之處。

[3] 此處參考吳毓江意見(jiàn)（[8]，488—489頁(yè)）而有所調(diào)整。

[4] 這個(gè)解釋參考了吳毓江（[8]，487頁(yè)）和錢寶琮[11]的意見(jiàn)，但更注意貼近文本。

[5] “尺”在《墨經(jīng)》中有幾個(gè)涵義：度量長(zhǎng)度的工具——尺，一尺的長(zhǎng)度，線。

[6] 葛瑞漢（Graham）較早注意到《墨經(jīng)》中點(diǎn)、線和空間等幾何概念的抽象化和理想化的性質(zhì)，并從《墨經(jīng)》的整個(gè)知識(shí)系統(tǒng)中理解它們，但沒(méi)有全面系統(tǒng)的討論（[4]，301—316頁(yè)）。

[7] 一種流行的觀點(diǎn)認(rèn)為“經(jīng)上”是對(duì)概念進(jìn)行定義，這是不確切的。事實(shí)上，不僅《墨經(jīng)》的絕大部分條目達(dá)不到現(xiàn)代對(duì)概念下定義（合適地揭示內(nèi)涵和外延）的要求，而且有的條目本身也很難說(shuō)是要去界定一個(gè)概念。如本文所討論的“儇， 秪”條是提供一種判斷，“有間，中也”條是對(duì)“有間”的位置做出說(shuō)明，盡管也能反映句首概念的一些涵義。

[8] 在中國(guó)古典數(shù)學(xué)中，用點(diǎn)（或其組合）定位和命名幾何形體的方式一直沒(méi)有受到重視（像《測(cè)圓海鏡》以漢字命名點(diǎn)并以其組合表示圖形的作法，是很罕見(jiàn)的例外），影響了中國(guó)古代幾何學(xué)特別是理論幾何學(xué)的發(fā)展。

[9] 已有學(xué)者對(duì)此表示過(guò)不同意這種意見(jiàn)，但它為不少論著[18，19]不加辨析地引用，仍有相當(dāng)?shù)挠绊憽?/p>

[10] 有的概念很難給出簡(jiǎn)潔而準(zhǔn)確的定義，這時(shí)通過(guò)使用這種概念的場(chǎng)合所反映的它與其他概念的聯(lián)系來(lái)體現(xiàn)其內(nèi)涵和外延。

[11] 如《墨經(jīng)》以承認(rèn)存在無(wú)窮為前提給出無(wú)窮和有窮的判定方式，《幾何原本》繼承歐多克索斯的窮竭法，避開無(wú)窮概念，建立了任意兩個(gè)有限量之間的關(guān)系，成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中所謂阿基米德公理的芻形（[5]，386-387頁(yè)；[15]；[20]）。

[12] 李約瑟已注意到墨家在《墨經(jīng)》以外還有其他演繹性幾何的可能性，但認(rèn)為如果有這些幾何也保持著一個(gè)學(xué)派的神秘而對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)的主流很少有甚至沒(méi)有影響（[3]，94頁(yè)）。實(shí)際上墨家雖然組織嚴(yán)明，但熱衷于宣傳其政治、倫理和社會(huì)主張，其幾何知識(shí)對(duì)其他學(xué)派（特別是名家）產(chǎn)生了影響，并且對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家獲得幾何計(jì)算公式產(chǎn)生了積極的影響（[5]，392-434、498-508頁(yè)）。本文后面將論及這一問(wèn)題。

[13] 《莊子·天下》篇對(duì)惠施和辯者是分列的，并沒(méi)有像有些論著所說(shuō)的把惠施視為辯者之一員。

[14] “矩不方”承下省“可以為”三字，完整的意思是“矩不可以為方”。

[15] 詳細(xì)的討論見(jiàn)鄒大海：《先秦?cái)?shù)學(xué)的兩種傾向》，2004年8月北京“《算數(shù)書》與先秦?cái)?shù)學(xué)國(guó)際學(xué)術(shù)研討會(huì)”論文。

本文曾于2009年5月12日在北京舉行的“數(shù)學(xué)機(jī)械化國(guó)際研討會(huì)暨慶祝吳文俊院士90華誕學(xué)術(shù)會(huì)議”上宣讀。